Anfangswertprobleme und Finite Differenzen für die Bildverarbeitung
Numerische Lösung von Anfangswertproblemen
Ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung
soll numerisch integriert werden. Die einfachste Varianten besteht in einem expliziten Euler-Verfahren. Man erhält es aus der formalen Integration der Differentialgleichung
Da 
Die einfachste Annahme, 
und 
führt auf das explizite Euler-Verfahren.
Der Fehler kann aus der Taylor-Approximation mit 
. Dieses Verfahren ist besonders einfach, weil man die Anfangswerte nur in f einsetzn muß um 
zu erhalten.
Eine andere Approximation des Integrals besteht darin 
und 
anzusetzen. Damit erhält man das implizite Euler-Verfahren als
Diese Berechungsvorschrift ist bereits deutlich komplizierter, da zur Bestimmung von 
die Funktion f nach 
aufgelöst werden muß. Falls f eine lineare Funktion ist, muß nur ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Der Fehler ist der selbe wie beim expliziten Euler-Verfahren.
Um einen kleineren Fehler zu erhalten, kann eine genauere Quadraturformel verwendet werden wie die Trapez-Regel
Auch hier muß ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden um 
zu erhalten. Eine Möglichkeit dies zu umgehen ist eine Kombination dieser Formel mit dem expliziten Euler-Verfahren zum Euler-Heun Verfahren:
Der lokale Fehler der Methode ist durch 
.
Diese Idee, sich mit einer Folge von Formeln immer genauerer Verfahren zu konnstruieren benutzen Runge-Kutta Verfahren
Die Koeffizienten 
werden üblicherweise in einer Tabelle, einem Butcher-Tableau zusammengefasst:
Das Euler-Heun Verfahren hat dann das Butcher-Tableau
und das klassische Runge-Kutta Verfahren:
Neben diesen Einschritt-Verfahren, gibt es noch Mehrschritt-Verfahren, die eine höhere Genauigkeit durch genauerere Quadratur-Formeln und dem Ergebnissen vorheriger Schritte.
Die 
können von Null verschieden sein für l>i, dann handelt es sich um ein implizites Runge-Kutta Verfahren.
Stabilität
Die Formeln zur genäherten Integration der Differentialgleichung sind bisher nur für einen einzelnen Schritt betrachtet worden. Da die Integrationsverfahren üblicherweise mehrfach angewendet werden um mehr als einen Schritt zu machen und über größere Intervalle als h zu integrieren, muß untersucht werden unter welchen Bedingungen eine Formel zur mehrfachen Anwendung geeignet ist.
Eine Stabilitätsanalyse versucht die Bedingungen zu bestimmen mit unter denen die Folge der numerischen Approximation 
sich nicht zu weit von der Lösung entfernt. Dazu wird die Test-Gleichung
betrachtet. Die exakte Lösung dieser Gleichung lautet
Für das explizite Euler-Verfahren erhält man die Gleichunng
mit der Lösung
Das Verfahren ist nur für (1-h λ)<1 stabil.
Beim impliziten Euler-Verfahren erhält man die Gleichung
mit der Lösung
Das Verfahren ist für h λ>0 stabil.
Für das ebenfalls explizite Euler-Heun Verfahren erhält man
Finite Differenzen
Beim Lösen von paritellen Differntialgleichungen der Bildverarbeitung bieten sich Finite Differenzen an, da die Bilder bereits auf einem regulären Gitter gesampelt sind. Man bedenke aber dabei, dass Finite Differnzen die Differntialgleichung approximieren und nicht die Lösung der Gleichung wie Finite Elemente. Daher besteht eine untere Grenze für die Genauigkeit der Lösung.
Eine finite Differnzenappoximation für eine Ableitung gewinnt man üblicherweise indem man ein Interpolationspolynom konstruiert, diese Ableitet und dann an den gewünschten Gitterpunkten auswertet.
Für die erste Ableitung kann man aus dem Gitterpunkt und seine beiden Nachbarpunkten ein Polynom erzeugen
diese Polynom Ableiten
Für die 1. Ableitung bei t=0 also im Mittelpunkt erhält man
Die in den Diffusionsgleichungen benötigte zweite Ableitung lautet dann
Hier muss nicht mehr t=0 gesetzt werden, weil sich aus drei Punkten nur ein quadratischens Polynom erzeugen lässt, welches bei zweimaliger Ableitung eine Konstante ergibt.
Stabilitätsanalyse für diskretisierte partielle Differentialgleichungen
Die Verwendung von finiten Differnzen Formeln zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen erfordert immer eine Stabilitätsanalyse.
Als erstes Beispiel soll eine Diffusionsgleichung verwendet werden, um die notwendigen Indicies nicht übermässig anwachsen zu lassen, soll nur ein eindimensionales Beispiel verwendet werden.
Für die Zeitabhängigkeit wählen wir ein explizites Euler-Verfahren
und für die zweite Ableitung bezüglich des Ortes die einfachste Approximation
Mit 
also
Nach Auflösen nach 
erhält man
Zum Lösen dieser Iterationsgleichung macht man den Ansatz
Das Einsetzen in die Iterationsgleichung ergibt:
Wie auch schon im Falle der gewöhnlichen Differentialgleichungen fordert man das |ξ|<1 gelten muss, damit die Gleichung stabil beleibt
Man sieht leicht, dass die Iteration nur für 
für alle Frequenzen stabil ist.
Für den Fall, das man statt des expliziten Euler-Verfahren ein implizites benutzt ergibt sich das lineare (tridiagonale) Gleichungssystem
Die Stabilitätsanalyse ergibt
Diese Iteration, mit dem Lösen eines linearen Gleichungssystems in jedem Schritt, ist also für alle Zeitschritte stabil.
Flusserhaltende Systeme
Während sich für die parabolischen Gleichungen von immer eine Schrittweite finden lässt für die eine explizite Formel stabil ist, ist die bei hyperbolischen Systemen nicht der Fall. Als Beispiel wählen wir
mit einer konstanten Geschwindigkeit v. Die Lösung dieser Gleichung ist durch u(x-v t) gegeben. Andere Beispiele für hyperbolische Gleichungen sind alle Wellengleichungen und die Maxwell Gleichungen.
Als Warnung sei ein explizites Euler-Verfahren für die Zeitabhängingkeit
ausgewählt. Für die Approximation der ersten Ableitung wählen wir die symmetrische Formel
Mit 
erhält man
Eine Stabilitätsanalyse soll zeigen ob die so gewählten Approximationen eine brauchbare Iteration ergeben
Der Betrag von ξ ist also bei dieser Iteration immer grösser als 1 und die Iteration ist immer instabil.
Die einfachste Methode diese Instabilität zu umgehen, ist die Lax Methode, in
wird 
durch seinen Mittelwert 
ersetzt was zu
führt. Die Stabilitätsanalyse liefert
Was zu der Stabilitätsbedingung
führt.
Auch wenn der Trick 
durch seinen Mittelwert 
ersetzt hier zu einer Stabilizierung der Gleichung führt, ist bei der Approximation der ersten Ableitung durch die zentrale Formel stets grösste Sorgfalt notwendig um ein stabiles Verfahren zu erhalten.
Eine andere Möglichkeit ein stabiles Verfahren zu erhalten, besteht darin die Formel für die Approximation der 1. Ableitung in Abhängingkeit vom Vorzeichen von v zu wählen
Dies führt zu sogenannten up-wind Methoden, die ebenfalls für 
stabil sind.
