Anisotrope Diffusion
Die ursprüngliche Variante der Diffusionsgleichung
mit 
und 
betrachtete D als Skalar. Ist 
ein Tensor (eine Matrix)
so handelt es sich um eine anisotrope Diffusion. Macht man den Diffusionstensor 
von den Bilddaten abhänging, so kann man lineare Struktuen verstärken. Die beiden Eigenvektoren des Diffusionstenors seien
mit i=1,2
Zur Konstruktion eines geeigneten Diffusionstensors startet man mit einem geglätteten Bild 
, also ein mit einem Gauß Filter der Weite σ gefalteten Bild. Aus dem Gradienten 
lässt sich eine Matrix 
konstruieren. Diese Matrix ist positive, und symmetrisch und die Eigenvektoren sind parallel und senkrecht zum Gradienten. Die Eigenwerte sind 
und 0. Diese matrix wird Komponentenweise mit einem zweiten Gauß-Kern geglättet und man erhält
Die Eigenwerte sind
Der erste Eigenvektor dazu lautet
Für die Koherenzverbesserung wählt man eine Diffusionstensor, der im Koordiantensystem der beiden Eigenvektoren die beiden Eigenwerte
hat.
Sollen die Kanten verstärt werden wählt man als Eigenwerte des Diffusionstensors und (ρ=0)
Shock Filter
Shock filter sind eine weitere Methode zur Bildverbesserung, wie der Name schon sagt erzeugen Shock-Filter homogene Gebiete im Bild, die von scharfen Kanten getrennt sind. Die Kanten entstehen an den Kanten des Bildes, dazwischen wird das Bild geglättet.
Für shock Filter wird die Gleichung
mit dem Gradienten 
und dem Laplace Operator 
. Der Laplace-Operator Δ u dient dabei als Kantendetektor. Die Kanten-Detektion is noch effizienter in Richtung des Gradienten η|| ∇ u und mit einer Glättung von u mit einem Gauß-Kern der Weite σ. Mit 
und der zweifachen Richtungsableitung 
lässt sich der Filter als
schreiben.
Im Falle, das lineare Strukturen für die Koherenzverbesserung verstärkt werden sollen, wird nicht die Richtung des geglätteten Gradienten η sonder der dominate Eigenvektror des geglätteten Strukturtensors 
verwendet.
Total Variation Filter
Diese Filter basieren auf einem Variationsprinzip, die Lösung soll das Funktional
bezüglich u extremal werden lassen. 
ist dabe das Ausgangsbild und λ ein freier Lagrange Parameter, der bestimmt wie weit sich die Lösung vom Ausgangsbild entfernen kann. Dies führt zu der Gleichung
Eine Möglichkeit diese Gleichung zu lösen besteht darin, eine "Zeitabhängikeit" einzu führen und im Grenzwert t→∞ die Lösung zu erhalten
Der Lagrange Parameter λ kann aus der Standardabweichung des Rauschens im Bild abgeschätzt werden.
Literatur
J.Weickert : Anisotropic Diffusion in Image Processing.ECMI Series, Teubner, Stuttgart, 1998.
J.Weickert : Coherence - enhancing shock filters.In B.Michaelis, G.Krell (Eds.) : Pattern Recognition.Lecture Notes in Computer Science, Vol.2781, Springer, Berlin, 1 - 8, 2003.
Tony F.Chan, Stanley Osher,Jianhong Shen, The Digital TV Filter and Nonlinear Denoising, IEEE Transactions on image processing, Vol. 10, No. 2, Feb. 2001
Vorbereitung
