Lineare Filter
Ableitungen
Man versuche nicht die Fourier-Reihen zu differenzieren !
Formel für Ableitunge gewinnt man durch die Konstruktion eines Interpolationspolynoms, das Bilden der Ableitung des
Polynoms und dem Auswerten an einer bestimmte Position.
1. Ordnung
| 1. Ableitung |  |
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2. Ordnung
| 1. Ableitung |  |
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| 2. Ableitung |  |
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3. Ordnung
| 1. Ableitung |  |
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| 2. Ableitung |  |
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Rauschen
Ableitungen sind extrem empfindlich gegen Rauschen.
In[12]:=
Out[12]=
Gauß Filter
Einsatz für die Rauschunterdrückung.
In[16]:=
Out[16]=
Ableitungen
Erste Ableitungen
In[18]:=
Out[18]=
In[20]:=
Out[20]=
Laplace Filter
In[15]:=
Out[15]=
Nullinie (Kanten) für Gaussfilterweiten 1 (Schwarz),2 (Rot), 4 (Grün), 8 (Blau)
Das kontinuierliche Variiren der Breite des Gauß-Kerns wird als "scale space" bezeichnet. Es verbindet den lokalen Charakter den Ableitung mit dem globalen Charakter der Faltung mit einem Gauß-Filter.
Laplace Gauss Filter werden auch mit mehr als einer Filterweite verwendet, und das Maximum über die FIlterweiten verwendet.
Diffusion & Gauß Filter
Eine Diffusions- oder Wärmeleitungsgleichung hat im einfachsten (zweidimensionalen) Fall die Form:
oder mit 
und 
Dabei sei u(x,y) das Grauwertbild. Die Lösung dieser Gleichung im zweidimensionalen lautet
Für einen Anfangswert 
erhält man
Dies ist aber gerade die kontinuierliche Version der Faltung eines Bildes 
mit einem Gauß-Kern der Breite 
.
Isotrope Nichtlineare Diffusion
Diffusion/Gauß-Filter habe unterdrücken das Rauschen in Bildern sehr gut, zerstören aber die Bildkannten. Perona und Malik führten dazu eine orts- und bildabhänginge Diffusionskonstante g ein, die vom Betrag des Gradienten abhängt
Die Funktion g(z) hat dabei die Form
Lösung der nichtlinearen Diffusionsgleichung für ν=0.1,0.5,1,2,4,8 bei t=0.8 und w=7
Veränderung der Lösung mit der Zeit t=1,3,5,7,9,11,13,15 mit ν=0.1
Literatur
P.Perona, J.Malik, Scale space and edge detection using anisotropic diffusion, Proc.IEEE Comp.Soc.Workshop on Computer Vision (Miami Beach, Nov.30 – Dec.2, 1987), IEEE Computer Society Press, Washington, 16 –22, 1987.
P.Perona, J.Malik, Scale space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Trans.Pattern Anal.Mach.Intell., Vol.12, 629 –639, 1990
Vorbereitung
In[3]:=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
In[6]:=
In[7]:=
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
In[10]:=
In[11]:=
Out[11]=
