FourierImage

Fourier Transformation für Bilder

Stetige Fourier Transformation

Linearer Anstieg

Sprung-Funtion

Flächennormierter Kasten

Gauss-Glocke

Disktrete Fourier Transformation

Neben der unsymmetrischen Form gibts natürlich auch noch die symmetrische Form in der Hin- und Rücktransformation mit normiert werden.

für die allgemeine Fourier -Transformation is das Signal immer auf dem Interval [0,2π)

Bei diskreter Sin- und Cos-Transformation auf dem Interval [0,π)

die Signale sind immer periodisch

Schnelle (diskrete) Fourier-Transformation

Eine numerisch effiziente Variante gibt es immer, wenn N keine Primzahl ist. Die meisten numerischen Implementationen verwenden (und erfordern) , dass N eine Potenz von 2 ist.

Das Berechnen würde Operationen erfordern. Die Schnelle Fourier-Transformation benötigt nur ∝N log(N) Operationen.

Man kann also die Fourier-Transformierte einer Folge der Länge N aus den Fourier-Transformierten der geraden Teilfolge (der Länge N/2) und der Transformierten der ungeraden Teilfolge (ebenfalls der Länge N/2) berechnen. Ist N durch 3 Teilbar erhält man analog zur obigen Formel

Eine rekursive Zerlegung gelingt also immer wenn N keine Primzahl ist. Bei die Implementation für wird zuerstder Eingabevektor umgeordnet, für N=8 benötigt man zwei Rekursionsstufen

1.Stufe	2. Stufe	3. Stufe

In der Binärdarstellung des Indexes ergibt sich für die Positionen:


000	000	000
001	010	100
010	100	010
011	110	110
100	001	001
101	011	101
110	101	011
111	111	111

Die Position ist als gerade die Bit-Spiegelung des Original Indexes. Nach der Umordng kann man immer aus den nächsten Nachbarn die neuen Werte der Folge berechnen.

Analog, kann man Formeln für N=3,5,7,.. aufstellen. Ein schneller Algorithmus existiert immer dann wenn die Signallänge keine Primzahl ist. Da die meisten Bibliotheken nur die Formeln für kleine Primzahlen implementieren sollte man Signallängen vermeiden, deren Faktorisierung ein oder meherere grosse Primzahlen enthält.

DFT für Bilder

Die diskrete Fourier-Transformation für ein reeles Signal muß symmetrisch sein. Da das Signal periodisch ist, liegt der Nullpunkt bei (0,0), (0,2π),(2π,0),(2π,2π). Eine Transformation der Fourier-Koeffizienten muss die Symmetriy des Signals beibehalten.

Eigentlich soll aber das Interval [-π,π)×[-π,π) verwendet werden.

Tiefpass

Hochpass

Tiefpass + Hochpass

Faltung & lineare Filter

Die häufigste Anwendung der Fourier-Transformation sind Faltungen.

Kommutativ

Assoziativ

Distributiv

Faltungstheorem

Wenn die Fourier-Transformierte von x(t) durch F[x](ω) gegeben ist, dann gilt für die Fourier-Transformierte der Faltung:

d ist dabei die Dimension von x.

Beispiele für Filter

Bei den Beispielen ist bei der Faltung via Fourier-Transformation der Skalierungsfaktor weg gelassen worden, weil Mathematica die Daten ohnehin skaliert.

Die Verwendung der Fourier-Transformation ist für so kurze Filter nicht effizient. Der Filter sollte mehr als 25 Elemente haben, die von 0 verschieden sind, damit das Expandieren des Filters auf die Größe des Signals und zwei Fourier-Transformationen effizienter sind als die Summationen. Wenn der selbe Filter mehrfach auf verschiedene Bilder angewendet wird sind Faltungen mit kleineren Filtern bereits effizient.

Nummerische Approximation der zweiten Ableitung