Elliptische Partielle Differentialgleichung
-Δ u(x,y)=f(x,y)
u(0,y)=u(L,y)=u(x,0)=u(x,L)=0
x,y ∈[0,L]×[0,L]
Lösen des Eigenwertproblems
weil wenn man eine solche Funktion finden würde, dann wäre die Lösung von -Δ u(x,y)=f(x,y) ja einfach u(x,y)=f(x,y)/λ.
Als Ansatz u(x,y)=X(x) Y(y), dann wird aus der Gleichung
X''(x)Y(x)+X(x)Y''(y)+λ X(x)Y(y)=0
oder
X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+λ=0
-X''(x)/X(x)=Y''(y)/Y(y)+λ=const=Λ
X''(x)+ Λ X(x)=0 mit X(0)=X(L)=0
Y''(x)+(Λ-λ) Y(x)=0 mit Y(0)=Y(L)=0
Man muss also nur einmal das Eigenwertproblem
u''(x)+λ u(x)=0
mit den Randbedingungen u(0)=u(L)=0 lösen. Für die Differentialgleichung gibr es als Lösungen
Für ein allgemeines λ lassen sich die Randbedingungen nicht erfüllen, (
muss 0 sein sein wegen der Bedingung u(0)=0), die zweite Randbedingung lässt sich nur erfüllen wenn λ spezielle Werte an nimmt, nämlich
Es gibt abzählbar unendlich viele Lösungen 
die alle nur bis auf eine multiplikative Konstante bestimmt sind, n=1,2,3..
die Eigenfunktionen des zweidimensionalen Problems sind dann 
und die Eigenwerte 
für die Randbedingungen u'(0)=u'(L)=0 wären die Eingenfunktionen 
mit n=1,2,3... und 
gefunden worden
für die periodischen Randbedingungen u'(0)=u'(L) ergibt sich 
, da man nicht immer die zwei Konstanten 
und 
schreiben will, wird diese Eigenfunktion zu 
die Lösung des elliptischen Problems ergibt sich als Fourier-Reihe 
Hilbert-Raum
Jeder Satz Eigenfunktionen eines elliptischen Eigenwertproblems bildet eine vollständige Basis im Hilbertraum der Funktionen
Das Skalarprodukt wird durch ein Integral definiert
also im eindimensionalen über dem Interval x∈[0,L]
und im zweidimensionalen x,y∈[0,L]×[0,L]
Jede Funktion, für die das Skalarprodukt berechnet werden kann kann als Reihe
mit 
dargestellt werden. Analog gilt im zweidimensionalen
mit 
.
f(x,y)
u(x,y)
